معلومة

نموذج لوتكا فولتيرا المفترس المفترس isocline؟

نموذج لوتكا فولتيرا المفترس المفترس isocline؟


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

في نموذج لوتكا فولتيرا المفترس ، لماذا نحصل على خط متساوي مستقيم مع مجموعة متغيرة من الفريسة / المفترس لقيمة واحدة للمفترس / الفريسة المقابلة؟

أفهم أننا نحصل على الفريسة متساوية الطول بالمعادلة

N1 = عدد الفريسة ؛ n2 = عدد الحيوانات المفترسة

ما لا أفهمه هو سبب حصولنا على مجموعة فرائس متغيرة على isocline لنفس القيمة من عدد الحيوانات المفترسة. ألا يجب أن يكون عدد الفريسة ثابتًا أيضًا؟ ملاحظة: لقد اخترت صورة الرسم البياني من الإنترنت بحيث تختلف الرموز. آسف.


أنا فكر في مشكلتك تتعلق بشكل أساسي بتفسير الخطوط المتساوية.

إذا افترضت نموذج المفترس والفريسة القياسي هذا:

$$ frac {dN_1} {dt} = rN_1-pN_1N_2 $$ $$ frac {dN_2} {dt} = apN_1N_2-mN_2 $$

تحصل على الخطوط المتساوية: $$ N_2 = frac {r} {p} $$ $$ N_1 = frac {m} {ap} $$

حيث يشير الخط المتساوي الأول إلى الفريسة والثاني يشير إلى الحيوانات المفترسة. تعني هذه الخطوط المتساوية أن معدل النمو السكاني للفريسة والحيوانات المفترسة (على التوالي) سيكون صفراً بالضبط عند هذه الخطوط المتساوية (وكذلك عند النقطة N1= ن2= 0). نظرًا لأن الخطوط المتساوية ، لهذا النموذج الخاص ، هي قيم ثابتة وليست وظائف لـ N1 و / أو ن2 سيكونون خطوط مضيق. أيضًا ، بمعنى ما ، يجب أن تنظر إلى الخطوط المتساوية كحالة حدية حيث يتحول معدل النمو السكاني بين قيمة موجبة وقيمة سالبة (أي زيادة أو انخفاض عدد السكان). لا تمنحك الخطوط المتساوية الحجم السكاني للفريسة بحجم معين من الحيوانات المفترسة (والذي يبدو أنك تشير إليه ضمنًا "... لماذا نحصل على مجموعة فرائس متغيرة على isocline لنفس القيمة من عدد الحيوانات المفترسة") ، ولكن المواقع في المستوى التي يكون فيها معدل النمو السكاني (للفرائس أو الحيوانات المفترسة) صفرًا.

يمكن أن يكون العرض الرسومي للخط المتساوي للفريسة فقط (مع بعض الترميز اللوني):

هذا يعني أن عدد الفريسة (باللون الأزرق) يتزايد (الأسهم إلى اليمين) أسفل خط متساوي للفريسة الزرقاء ، لذلك إذا كان هناك "تدفق" إلى اليمين هناك ، بينما يتناقص عند أحجام أعداد الحيوانات المفترسة فوق خط مستقيم (الأسهم إلى اليسار). لذلك بشكل أساسي ، بالنسبة لجميع أحجام السكان المفترسين (N2) أدناه isocline سوف تنمو أعداد الفريسة ، وبالنسبة لجميع N2 فوق الخط المتساوي ، سينخفض ​​عدد الفريسة. في الواقع ، يختلف معدل الزيادة / النقصان اعتمادًا على مدى بُعدك عن الخط المتساوي (لذلك يجب أن تكون الأسهم ذات أطوال مختلفة) ، ولكن لتبسيط المشكلة وإظهار المبدأ العام ، فأنا فقط أقوم بعرض اتجاه التدفق هنا.

نفس الصورة لمجموعات الحيوانات المفترسة هي:

هنا ينخفض ​​عدد الحيوانات المفترسة (البرتقالية) إلى يسار الخط المتساوي للمفترس البرتقالي (الأسهم لأسفل) نظرًا لوجود فريسة قليلة جدًا للحفاظ على السكان ، وتزداد على يمين الخط المتساوي (الأسهم لأعلى).

إذا جمعت بين هذه ، فستحصل على هذا ، مع الأسهم السوداء التي توضح الاتجاه العام لمسارات السكان المجمعة:

آمل أن يوضح هذا الأمر قليلاً. خلاف ذلك ، يرجى التعليق وتحديد الأجزاء التي تجدها غير واضحة.

أيضًا ، تعني ديناميكيات نموذج Lotka-Volterra هذا أيضًا أن المجموعات السكانية التي تبدأ تمامًا عند تقاطع الخطوط المتساوية (أي كلاهما N1 ون2 سوف تقع عند هذه النقطة) ستبقى هناك ، لأن هذه نقطة توازن (غير مستقرة). السكان الذين بدأوا في أي مكان آخر في هذا المستوى (باستثناء الحالات التي يكون فيها N.1 و / أو ن2 هو صفر) ، سيتبع مسارًا متذبذبًا للسكان ، لن يتغير إذا لم يكن هناك أي ارتباطات خارجية (التغيرات البيئية ، المدخلات / المخرجات من خلال الهجرة / الهجرة ، إلخ). لذلك ، فإن مسارات N مجتمعة1 ون2 سيشكل قطع ناقص في المستوى ، حتى يتم تشويشهم (بشيء خارج النموذج الحالي) ، عندما يستقرون بعد ذلك عند علامة حذف جديدة. للحصول على أمثلة على الأشكال البيضاوية ، انظر الرسم البياني لمستوى الطور هذا من ويكيبيديا ، مع القيم الأولية كنقاط:

ومع ذلك ، لاحظ أيضًا أن تغيير النموذج ، أي تضمين مكون لوجستي لمجموعة الفرائس ، سيغير تمامًا ديناميكيات السكان.


سأحاول أن أغطي الرياضيات ببضع كلمات أخرى ، لإظهار أن حدسك صحيح في الواقع (والذي لا يُعطى دائمًا مع الرياضيات).

في المعادلة التفاضلية التي كتبتها $$ frac {d N_1} {dt} = r_1 N_1 - p_1 N_1N_2 ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ (1) $$ الارقام $ r_1 دولار و $ p_1 $ هي ببساطة ثوابت تعطي قوة الاقتران بين تغيير المتغير (الجانب الأيسر) وكيفية حساب هذا التغيير (الجانب الأيمن).
هل تحدد $ p_1 = 0 دولار، فإن الحل الناتج من (1) سيكون نموًا أسيًا بدون عوائق. إذا ذهبنا وزادنا $ p_1 $ إلى $ p_1> 0 دولار، ثم نزيد "كفاءة التحويل من N_1N_2 دولار إلى السلبية N_1 دولار"، أو ببساطة" تصبح الحيوانات المفترسة أكثر كفاءة في الصيد ".

ومن ثم ، بشكل حدسي ، عندما تصبح الحيوانات المفترسة أكثر كفاءة ، عن طريق الزيادة $ p_1 $، لا يمكن أن تنمو أعداد الفريسة بشكل كبير إلى ما لا نهاية بعد الآن. يجب أن يكون مستويًا الآن (حيث سيظهر لك حل (1) ، إذا استمررت في ذلك N_2 دولار ثابت ، انظر أيضًا الوظيفة اللوجستية "في علم البيئة: نمذجة النمو السكاني").
والقيمة المستقرة التي يتم تسويتها ، يتم تحديدها من خلال المطلب $ frac {d N_1} {dt} = 0 $، الأمر الذي يقودنا إلى الخط المتساوي 0 دولار = r_1-p_1N_2 دولار.

الآن ، بالعودة إلى سؤالك ، من المهم ملاحظة ذلك بالمطالبة $ frac {d N_1} {dt} = 0 $، لقد حددنا بالفعل $ N_1 = ثابت، ليس لدينا أي وسيلة حتى الآن لحساب هذه القيمة.
لذا فإن عدد الفريسة ثابت في الواقع! وتُعطى المجموعة المفترسة التي يمكن أن تعيش على هذه القيمة غير المعروفة من خلال نسبة تكاثر الفرائس مقابل كفاءة الصيد ، وهي الخط المتساوي.

كتعليق أخير ، من الغريب أن تكون معادلة لـ N_1 دولار تبين أنه يوفر لنا أكبر قدر من المعلومات حول N_2 دولار، ولكن هذا هو الحال في كثير من الأحيان مع المعادلات التفاضلية المزدوجة.


نظام Lotka-Volterra المفترس والفريسة

يجب أن تكون معادلات Lotka-Volterra ، التي تصف نظام المفترس والفريسة ، واحدة من أكثر الأنظمة الديناميكية شهرة. هناك العديد من التعميمات والتطبيقات خارج علم الأحياء.

تحتوي ويكيبيديا على مقال جميل ، استخدمته كأساس لهذا النموذج البسيط.

يمكنك إيجاد التوازن عند (الحيوانات المفترسة الأولية النسبية = 3 ، الفريسة الأولية النسبية = 0.5). تجربة مثيرة للاهتمام هي تحديد ما إذا كانت هذه النقطة مستقرة.

Lotka-Volterra-Alt.vpm (نسخة بديلة تكبر الرسم التخطيطي قليلاً وتنقل معظم الرسوم البيانية إلى لوحة تحكم في طريقة عرض ثانية)

يستخدم إصدار آخر من النموذج ، والذي يتطلب إصدارًا متقدمًا من Vensim أو Model Reader ، نصًا منخفضًا (مصفوفة) لترتيب الظروف الأولية لمستويات المفترس والفريسة عشوائيًا. يتيح لك ذلك رؤية تأثير المعلمات على مجموعة متنوعة من الإدراك العشوائي في مساحة طور المفترس والفريسة.

Lotka-Volterra + Array.vpm (يتطلب Vensim DSS أو Pro ، أو القارئ المجاني النموذجي)


معادلات / نماذج لوتكا فولتيرا | علم الحيوان

يُطلق على معادلات Lotka-Volterra اسمًا كبيرًا لأن الارتباطات بين الأنواع كانت مؤيدة و shyposed كنماذج بواسطة Lotka (1925) و Volterra (1926) في منشورات منفصلة. وهو يتألف من زوج من المعادلات التفاضلية المفيدة لنمذجة المفترس والفريسة أو الطفيلي المضيف أو com & shypetition أو التفاعلات الأخرى بين النوعين.

إذا كان أحد الأنواع يستخدم بعض موارد النوع الآخر ، فإن معادلات النمو لكلا النوعين هي:

كل مجموعة لديها مستوى K أو equi & shylibrium محدد. المعامِلات α و هي عوامل منافسة تشير إلى تأثير النوع 2 على 1 وتأثير النوع 1 على 2 ، على التوالي. ن1 ون2 هي أعداد الأفراد من النوعين 1 و 2 و r1 و ص2 هي معدل النمو المحدد للأنواع 1 و 2.

التأثير التثبيطي لفرد واحد جديد من النوع 2 على نمو النوع 1 هو α / K1 والتأثير المثبط لفرد آخر على نفسه هو 1 / K.1. سيتوقف نمو أي نوع من الأنواع المنافسة عندما يتم الوصول إلى قدرتها الاستيعابية وهي مزيج من أعدادها بالإضافة إلى تلك الخاصة بالأنواع الأخرى.

وهكذا ، فإن النوع 1 يتوقف عن النمو عندما

وبالمثل ، فإن النوع 2 يتوقف عن النمو عندما

سيكون نظام النوعين في حالة توازن وشيبريوم فقط عندما يتزامن توقف النمو للنوعين في وقت واحد ، أي عندما

يمكن أن تكون المعادلة أعلاه أفضل ما يمكن أن تكون مبسطة عن طريق الرسوم البيانية الأجنحة للنمو السكاني الصفري (ZPG). يوضح الشكل 4.30 أ خطًا مستقيمًا يتكون من جميع الخلطات من الأنواع 1 والأنواع 2 التي تضيف ما يصل إلى K. عندما N2 هو O ثم N1 يساوي ك1.

عندما N1 هو O ثم N2 يساوي ك1/ α. يمثل الخط المستقيم جميع مجموعات الأرقام التي سيتوقف عندها النوع 1 عن النمو. ن1 سينخفض ​​إذا كان هناك مزيج من N.1 ون2 كما هو موضح بالسهم في X. وبالمثل N1 ستزيد عند خلط Y كما هو موضح بالسهم. يوضح الشكل 4.30 ب رسمًا بيانيًا آخر للأنواع 2 مثل ذلك في الأنواع 1.

عندما يتم وضع خطوط كلا النوعين معًا على نفس الرسم البياني (الشكل 4.30C) ، سيكون من الممكن تحديد كيفية تغير كثافات النوعين من أي نقطة عن طريق رسم الأسهم لكل نوع. يمكننا أن نرى من الشكل 4.30C أن أي نقطة (A) أسفل السطر K.22/ β ، سيكون كلا النوعين قادرين على زيادة أعدادهم.

عندما يشكل مزيج الأنواع نقطة (Z) بين الخطين K.22/ β و K.1/ α-K1، ممثلة بالمنطقة المظللة ، سيستمر النوع 1 في الزيادة ولكن الأنواع 2 ستنخفض. إذا بقي النوع 2 كما هو ولكن النوع 1 ينمو في العدد ، فإن النقطة B ستنزلق أفقيًا نحو C ، وبالتالي فإن أعداد الأنواع 2 ستبدأ في الانخفاض.

في المنطقة (X) فوق الخط K.1/ α-K1 كلا النوعين 1 و 2 سينخفضان. في هذا الرسم البياني ، ستكون النتيجة الثابتة هي انقراض الأنواع 2. نوع مماثل من الرسوم البيانية من الممكن إظهار ثلاث علاقات أخرى - انقراض النوع 1 ، انقراض نوع واحد أو الآخر والتعايش بين النوعين.

نموذج لوتكا فولتيرا المفترس فريسة:

يعتبر نموذج Lotka-Volterra المفترس والفريسة نموذجًا بسيطًا ولكنه قيّم. هذا النموذج يفترض مسبقًا أن أعداد المفترس (زيادة معدل المواليد) تعتمد على عدد الفريسة. على سبيل المثال ، في حقل الأرز ، إذا كان عدد الفئران مرتفعًا ، فإن الثعالب ستأكل الكثير من الفئران وستنجب الكثير من الأطفال. إذا انخفض عدد الفئران إلى الصفر ، فلن تتكاثر الثعالب.

على العكس من ذلك ، فإن أعداد الفريسة تعتمد على عدد الحيوانات المفترسة ، لأنها ستعمل على معدل وفيات الفريسة. على سبيل المثال ، ينمو معظم صغار الفئران إذا كانت أعداد الثعالب منخفضة. حتى الفئران القديمة ستعيش لفترة أطول. لذلك ، الفريسة محدودة والحيوانات المفترسة محدودة الغذاء.

يمكن تمثيل نموذج افتراس Lotka-Volterra بشكل أفضل في رسم بياني (الشكل 4.31A) للمفترس. لا يظهر عدد الحيوانات المفترسة نموًا ولا تراجعًا (dN predator / dt = 0) في أي نقطة على الخط C. أي نقطة إلى اليسار ستؤدي إلى انخفاض عدد الحيوانات المفترسة بسبب نقص الغذاء.

يمكن رسم رسم بياني مشابه (الشكل 4.31 ب) لمجموعة الفريسة ، عندما لا تنمو أو تنخفض أعداد الفريسة عند أي نقطة على الخط D (فريسة dN / dt = 0).

الجمع بين المخططين (A و B من الشكل 4.31) يمكن للمرء أن يفحص سلوك النظام (الشكل 4.32). من الشكل 4.32 ، يمكن ملاحظة أنه عند النقطة E ، يكون مفترس dN / dt = 0 و

dN prey / dt = 0. في هذه المرحلة يكون النظام في حالة توازن مع عدم تغير أي من السكان أو تضاؤل ​​الحجم. ومع ذلك ، في أي نظام طبيعي ، سيتم سحب مجموعة أو أخرى بعيدًا عن هذه النقطة.

تتوافق الأحداث المحتملة للنظام مع الأسهم العميقة التي تشكل دائرة حول E. في الربع الذي تم تمييزه بواسطة A ، سيزداد عدد السكان وينتقل النظام إلى الربع الأيمن العلوي. هنا ، سيكون الاتجاه نحو زيادة أكبر في عدد الحيوانات المفترسة بينما سينخفض ​​عدد الفرائس. ثم يتحرك النظام نحو الربع العلوي الأيسر حيث ينخفض ​​كلا المجموعتين. سيعود النظام في النهاية إلى A.

من نموذج Lotka-Volterra هذا ، إذا تم رسم أعداد المفترس والفريسة مع الوقت ، فيمكن ملاحظة تقلب دوري بين المجموعتين. يمكن توضيح مثال كلاسيكي لمثل هذه الدورة من خلال الوشق الكندي (Lynx canadensis) وأرنب الأحذية الثلجية (Lepus americanus) كما هو موضح في الشكل 4.33. تقلل أعداد الوشق المرتفعة من أعداد أرنب الحذاء الثلجي. وهذا بدوره يؤدي إلى انخفاض عدد الوشق في السنوات اللاحقة. هذا من شأنه أن يسمح لأعداد الأرانب بالارتفاع مرة أخرى وتستمر الدورة وتتألق.


نموذج لوتكا فولتيرا المفترس المفترس isocline؟ - مادة الاحياء

لها متغيرين (P ، H) والعديد من المعلمات:
H = كثافة الفريسة
P = كثافة الحيوانات المفترسة
r = زيادة المعدل الجوهري لتعداد الفرائس
أ = معامل معدل الافتراس
ب = معدل تكاثر الحيوانات المفترسة لكل فريسة تؤكل
م = معدل وفيات المفترس

قياس معلمات نموذج Lotka-Volterra

  1. حافظ على عدد الفرائس بدون حيوانات مفترسة وقم بتقدير معدل الزيادة الجوهري (r).
  2. ضع حيوانًا مفترسًا واحدًا في أقفاص ذات كثافة مختلفة من الفريسة وقم بتقدير معدل وفيات الفرائس وقيمة k المقابلة في كل قفص. كما نعلم ، قيمة k تساوي معدل الوفيات الآني مضروبًا في الوقت. وبالتالي ، فإن معدل الافتراس (أ) يساوي قيمة k مقسومة على مدة التجربة.
    مثال: قتلت الخنفساء 60 حشرة من أصل 100 في يومين. ثم قيمة k = -ln (1-60 / 100) = 0.92 ، و a = 0.92 / 2 = 0.46.
    ملحوظة: إذا لم تكن القيم المقدرة بكثافات فريسة مختلفة قريبة بما يكفي من بعضها البعض ، فلن يعمل نموذج Lotka-Volterra! ومع ذلك ، يمكن تعديل النموذج لدمج العلاقة بين كثافة الفريسة.
  3. تقدير المعلمات b و m:

احتفظ بالكثافة الثابتة للفريسة (على سبيل المثال ، H = 0 ، 5 ، 10 ، 20 ، 100 فريسة / قفص) ، وقم بتقدير المعدل الجوهري لزيادة عدد الحيوانات المفترسة (r P) عند كثافات الفريسة هذه. ارسم المعدل الجوهري لزيادة عدد الحيوانات المفترسة مقابل كثافة الفريسة: الانحدار الخطي لهذا الخط هو:

كيفية حل المعادلات التفاضلية

أبسط وأقل دقة هو طريقة أويلر. ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية ثابتة:

نحتاج أولاً إلى شروط أولية. سنفترض أنه في الوقت t o تكون قيمة الوظيفة x (t o).

يمكننا الآن تقدير قيم x في وقت لاحق (أو سابقًا) باستخدام المعادلة:

في هذا الرسم البياني ، نقدر ميل الدالة f (x) عند النقطة t = t o واستنباط هذا المنحدر خلال الفترة الزمنية بأكملها.

المصدر الرئيسي للخطأ في طريقة أويلر هو تقدير المشتق في بداية الفاصل الزمني. قد يتغير اتجاه الحل الفعلي بشكل كبير خلال هذه الفترة الزمنية وقد تكون النقطة المتوقعة عدديًا بعيدة عن الحل الفعلي (انظر الشكل).

يمكن تحسين طريقة أويلر ، إذا تم تقدير المشتق (الميل) في مركز الفترة الزمنية. ومع ذلك ، فإن المشتق في المركز يعتمد على قيمة الوظيفة في المركز غير المعروفة. وبالتالي ، نحتاج أولاً إلى تقدير قيمة الدالة عند النقطة الوسطى باستخدام طريقة أويلر البسيطة ، ومن ثم يمكننا تقدير المشتق عند النقطة الوسطى.

k هي قيمة الوظيفة في مركز الفاصل الزمني l. أخيرًا ، يمكننا تقدير قيمة الوظيفة في نهاية الفترة الزمنية:

هذا يسمي رونج كوتا طريقة من الدرجة الثانية. الأكثر شيوعًا هي طريقة Runge-Kutta من الدرجة الرابعة. ومع ذلك ، لأغراضنا ، يكفي استخدام طريقة الترتيب الثاني.

يتم تطبيق هذه الطريقة على معادلات Lotka-Volterra في جدول بيانات Excel التالي:

أولاً ، نقدر كثافات الفريسة والحيوانات المفترسة (H 'و P' ، على التوالي) في مركز الفاصل الزمني:

الخطوة الثانية هي تقدير كثافة الفريسة والمفترس (H "و P" في نهاية الخطوة الزمنية 1:

تم رسم هذين الرسمين البيانيين باستخدام نفس معلمات النموذج. الاختلاف الوحيد في الكثافة الأولية للفريسة. هذا النموذج ليس له استقرار مقارب ، ولا يتقارب مع جاذب (لا ينسى الشروط الأولية).

يوضح هذا الشكل التغيرات النسبية في كثافة المفترس لكلتا الحالتين الأوليين. المسارات خطوط مغلقة.

نموذج لوتكا وفولتيرا ليس واقعيا جدا. لا يعتبر أي منافسة بين الفريسة أو الحيوانات المفترسة. نتيجة لذلك ، قد تنمو أعداد الفرائس بشكل لا نهائي دون أي حدود للموارد. المفترسات ليس لديها تشبع: معدل استهلاكها غير محدود. معدل استهلاك الفريسة يتناسب مع كثافة الفريسة. وبالتالي ، فليس من المستغرب أن يكون سلوك النموذج غير طبيعي ولا يظهر أي استقرار مقارب. على الرغم من وجود العديد من التعديلات على هذا النموذج مما يجعله أكثر واقعية.

يمكن العثور على معلومات إضافية عن نموذج Lotka-Volterra في مواقع WWW الأخرى:


معادلات لوتكا فولتيرا

كان ألفريد جيمس لوتكا عالمًا أمريكيًا في الرياضيات الحيوية وإحصائيًا حيويًا ، سعى إلى تطبيق مبادئ العلوم الفيزيائية على العلوم البيولوجية.

كان فيتو فولتيرا عالم رياضيات وفيزيائيًا إيطاليًا معروفًا بإسهاماته في علم الأحياء الرياضي والمعادلات التكاملية.

الآن ، باسم هذه المعادلات ، قد تعتقد أن هذين العالمين قد تعاونا للعمل على شيء ما ،
لكن هذا ليس ما حدث ...

بدأ لوتكا في البداية العمل على هذه المعادلات في عام 1910. وفي عام 1920 ، وسع نموذجه ليشمل "الأنظمة العضوية" ، وفي عام 1925 استخدم هذا النموذج لتحليل التفاعلات بين المفترس والفريسة في كتابه عن الرياضيات الحيوية. نشر فولتيرا نفس مجموعة المعادلات في عام 1926. وقد استلهم عمله من تفاعلاته مع عالم الأحياء البحرية.

شكرا على درس التاريخ ، ولكن ما هي هذه المعادلات بالضبط؟
حسنًا ، أنا سعيد لأنك سألت!

تصف معادلات لوتكا فولتيرا نموذج فريسة بيئي مفترس من أجل:
x & rarr فريسة السكان
ذ & rarr المفترس السكان

والذي يفترض أنه بالنسبة لمجموعة من الثوابت الإيجابية الثابتة:
& alpha & rarr معدل نمو الفريسة
& beta & rarr المعدل الذي تدمر به الحيوانات المفترسة الفريسة
& gamma & rarr معدل وفيات الحيوانات المفترسة
& delta & rarr معدل زيادة الحيوانات المفترسة عن طريق استهلاك الفريسة

المعادلات التالية صحيحة:

الآن هذه مجموعة كاملة من الرياضيات لن أفهمها أبدًا ...
ولست بحاجة إلى ذلك.

بالنظر إلى الرسم البياني أدناه ، فهو يصور العلاقة بين مجموعات الوشق الكندي والأرنب الحذاء الثلجي من غابات أمريكا الشمالية. في هذه الحالة ، الوشق الكندي هو المفترس وأرنب الحذاء الثلجي هو الفريسة.

من هذا الرسم البياني ، يمكننا أن نستنتج أن عدد الوشق الكندي قد زاد مع ارتفاع عدد أرنب الأحذية الثلجية. وبالمثل ، انخفض عدد سكان الوشق الكندي عندما انخفض عدد شعر الحذاء الثلجي. تنص بوضوح على أن سكان النوعين يعتمدون على بعضهم البعض.

تدوم هذه الدورة من المفترس والفريسة ما يقرب من 10 سنوات ، مع تأخر عدد الحيوانات المفترسة من سنة إلى سنتين عن عدد الفريسة. مع نمو عدد الفريسة ، يمكن للحيوانات المفترسة أن تصطاد أكثر ، وبالتالي يزداد عدد الحيوانات المفترسة أيضًا. عندما يصل عدد الحيوانات المفترسة إلى مستوى عتبة ، فإنها تقتل الكثير من الفرائس ، وبالتالي يبدأ عدد الفريسة في الانخفاض. ويتبع ذلك انخفاض في أعداد الحيوانات المفترسة بسبب ندرة الغذاء. عندما يكون عدد الحيوانات المفترسة منخفضًا ، تبدأ أعداد الفرائس في الزيادة ، على الأقل جزئيًا ، بسبب انخفاض ضغط المفترس ، مما يؤدي إلى بدء الدورة من جديد.

دعونا نحاول تصور دورات المفترس والفريسة.

ضع في اعتبارك سيناريو الثعلب مقابل الأرنب. هنا الثعلب هو المفترس والأرنب هو الفريسة. العب مع أشرطة التمرير ، لتغيير معالم علاقتهم ، وانظر كيف يتأثر المجتمعان ببعضهما البعض. تم تحسين قيم المنزلقات أدناه للحصول على رسوم بيانية أفضل ، حيث يبلغ عدد سكان الأرانب الأولي 35 وعدد سكان الثعلب الأولي 50.


نموذج لوتكا فولتيرا المفترس المفترس isocline؟ - مادة الاحياء

المحاضرة 15 (L / V المفترس / الفريسة تابع)

كما استنتجنا من مجموعات المحاضرة الأخيرة ، ينتج عن نموذج فرائس Lotka / Volterra المفترس بطريقة يمكن التنبؤ بها تسمى دورة مستقرة بشكل محايد.

اتساع التذبذب يعتمد ببساطة على المكان الذي يبدأ فيه السكان.

إذا استرخينا في بعض الافتراضات ، على سبيل المثال إضافة بعض الاعتماد على الكثافة ، يمكننا توليد بعض الواقعية في النموذج.

    التأثيرات التي تعتمد على الكثافة على الفريسة ، مع كفاءة المفترس عند مستويات معتدلة.

إذا كان خط الفريسة وخط الافتراس متماثلين ، فسيؤدي ذلك إلى دورة حد مستقرة تعود إلى نفس النقطة.

نادرًا ما يكون السكان في مثل هذا التوازن لأن الانتقاء الطبيعي يفضل أن تصبح الحيوانات المفترسة أكثر كفاءة في التقاط الفريسة (خاصة إذا كان المفترس يتغذى على فريسة واحدة) ويجب اختيار الفريسة لتقليل كفاءة المفترس (آليات الهروب ، إلخ)

لا ينخفض ​​الافتراس حتى تنخفض مستويات الفريسة ، أي أن لديهم كفاءة أعلى في التقاط الفريسة. هنا يمكن للمفترس استغلال الفريسة بكفاءة عالية ، حيث تتصاعد النواقل إلى الخارج مما يؤدي إلى انقراض نوع واحد أو كلا النوعين.

سيؤدي هذا الموقف إلى تصاعد داخلي في الدورة مما يؤدي إلى دورة مبللة. يميل المفترس والفريسة إلى التأرجح قليلاً فقط دون اضطراب.

في هذه الحالة ، يكون للفريسة ملاذ حيث لا يمكن للحيوانات المفترسة الوصول إليها. وبالتالي ، فإن أي اضطراب يزعزع استقرار الدورة يمكن استعادته عن طريق الهجرة.

الآن دعونا نفكر في التغييرات في isocline المفترس:

انقل إلى اليمين عند الكثافة العالية للحيوانات المفترسة ، يلزم المزيد من الفريسة لزيادة كثافة الافتراس. يمكن أن يكون راجعا إلى: 1) انخفاض كفاءة الافتراس عند كثافة الحيوانات المفترسة العالية بسبب التفاعلات الاجتماعية (الإقليمية) التي تؤدي إلى التداخل. أو 2) يعتمد معدل الوفيات على المفترس على الكثافة. في الكثافات العالية يزداد معدل وفيات المفترس (التأثيرات الخارجية).

هنا A) L / V isocline ، B) يوضح أن المزيد من الحيوانات المفترسة تتطلب المزيد من الفرائس C) يتم تقليل معدل الاستهلاك تدريجيًا عن طريق التداخل المتبادل ، D) الحيوانات المفترسة المقيدة بشيء آخر غير الطعام.


يشار إلى هذا الانحناء للإيزوكلين المفترس بالحد الذاتي.

ضع في اعتبارك: الشرط ب (الشكل 5 أ)

أخيرًا ، لوحظ القليل من ركوب الدراجات. التقييد الذاتي القوي. كثافة الافتراس عالية فقط عندما يكون عدد الحيوانات المفترسة منخفضًا وتكون الفريسة قريبة من قدرتها على التحمل

لماذا دراسة ديناميات العلاقات بين المفترس والفريسة؟

مثيرة للاهتمام جوهريًا في توفير نظرة ثاقبة لاستقرار النظم الطبيعية.

ولكن ، ضمنا أيضًا للإدارة الناجحة للأنشطة البشرية المرتبطة باستغلال الموارد الطبيعية.

تتمثل فكرة الحصاد المنظم في تعظيم غلة المحاصيل (أي تناول الفريسة) ، مع ضمان عدم انقراض الفريسة.

من أمثلة تقييمنا النظري لدراجات المفترس / الفريسة ، وجدنا أن التعايش يتأثر بما يلي:

& # 9 & # 9 & # 9 & # 9 - تأثيرات تعتمد على الكثافة على الفريسة والحيوانات المفترسة

لسوء الحظ ، لم يكن للمحاولات البشرية لتحقيق التوازن الواعي لضمان عدم الاستغلال المفرط ولا تحت الاستغلال سجل جيد ... على سبيل المثال انهيار مصايد أسماك القد في شمال الأطلسي.

الفكرة: سيؤثر تقليل حجم السكان بشكل عام على متوسط ​​العمر المتوقع وخصوبة الكائنات الحية.

ومع ذلك ، فإن كيفية تقليل حجم السكان أمر مهم لكيفية استجابات السكان في العدد بمرور الوقت.

تُظهر التجارب المعملية الخاضعة للرقابة قيودًا تعتمد على الكثافة على النمو السكاني أيضًا أنه عند إزالة البالغين ، يزداد النمو السكاني نظرًا لوجود فائض من الطعام للمراحل الأصغر سنًا.

النتائج: ارتفاع معدل الخصوبة للفرد ، وزيادة معدل المواليد (عن طريق تقليل المنافسة داخل النوع).

لذلك ، فإن عملية الحصاد ستؤثر على معدل النمو السكاني.

ضع في اعتبارك: توقيت حصاد الفوج (مثل السلمون)

الحصاد المبكر ، والعودة البطيئة عند صيد العديد من الأحداث

وسط الحصاد ، فرقعة. فترة النمو السريع ، مزيج من الكبار والصغار

تأخر الحصاد وعودة بطيئة (معظمها من البالغين)

يعتبر الحصاد في وسط السكان هو الأمثل. يتم تكبير حجم وسرعة استعادة حجم السكان إلى أقصى حد و # 222 الحد الأقصى من العائد المستدام

من المعادلة اللوجستية ، الحجم الأمثل للسكان للحصاد في K / 2.

النقطة المهمة هنا هي أن الحد الأقصى من العائد المستدام لا يتم الحصول عليه عندما يكون عدد السكان في القدرة الاستيعابية ، على الرغم من أن هذا قد يكون أكبر عائد على الإطلاق.

يتم الحصول على أقصى إنتاج مستدام بأقل من الكثافة السكانية القصوى.

يعتمد مفهوم الحد الأقصى للعائد المستدام (MSY) على تحديد & quotstock & quot & في الممارسة العملية ، فهي مجموعة فرعية من السكان بالكامل ، يُفترض أنها تمثل إجمالي & quot السكان & quot

S year2 = S year1 + R + G - D - C

للحفاظ على مكاسب المساواة هذه (R + G) يجب أن تساوي الخسائر (D + C). يتم تكبير C عندما يكون عدد السكان عند K / 2.

كانت المشكلات المتعلقة بنماذج المصايد المبكرة - المعلمات المفترضة ثابتة بمرور الوقت. إذا ظل المصيد مضبوطًا على نفس الحد ولكن انخفض التجنيد

على سبيل المثال: تتميز العديد من مصايد الأسماك بتجمعات موجودة في دورات & quotboom أو الكساد & quot الناتجة عن التباين البيئي المستقل عن التدخل البشري.

بلغ حجم مصيد الأنشوجة في بيرو 1955-1972 حدًا أقصى قدره 12 مليون طن / سنة.

تتركز مصايد الأنشوجة على طول وسط شيلي حتى شمال بيرو. ذروة التبويض في أكتوبر وفبراير / مارس تليها عمليات التوظيف في يوليو / سبتمبر.

منطقة تتميز بتغيرات دورية مفاجئة في درجة حرارة سطح البحر كل 3-5 سنوات بسبب ظاهرة النينيو. تحدث ذروة الحدث بين ديسمبر ويوليو مما يؤدي إلى فشل التبويض والتجنيد.

في عام 1972 ، أدى التذبذب الجنوبي القوي إلى معدل وفيات جماعي. وتجمع الناجون في جيوب من الماء البارد. استمر الصيادون في صيد مخلفات المخزون ، وبالتالي انخفض عدد السكان إلى مستويات منخفضة للغاية وأدت جهود الصيد المستمرة إلى (C & gt & gtR).

أنتجت ENSOs 1973 ، 1977-78 ، 1982-83 لتر 1 مليون طن / سنة.

الخلاصة: في أنظمة الفريسة الطبيعية ، تكون التفاعلات متبادلة ، وتوجد آليات لتقليل احتمالية زعزعة الاستقرار ، مثل الملجأ ، والتأثيرات المعتمدة على الكثافة ، وما إلى ذلك. إذا لم تكن هناك آليات تعويضية ، فإن أيًا من المفترس و / الفريسة ينقرضان.

تحاول نماذج الإدارة الجديدة أن تأخذ في الاعتبار تأثيرات النشاط البشري مع المراقبة السنوية لمحاولة مراعاة آثار الكوارث الطبيعية. يؤدي إلى محاصيل موسمية صارمة للغاية (مثل السلمون والرنجة).

للحصول على دورة حد مستقرة من نوع Lotka-Volterra في علاقة مفترس / فريسة ، يجب أن تكون الحيوانات المفترسة:

  1. كفاءة معتدلة.
  2. أوقات الاستجابة للتغيرات في حجم السكان من المفترس / الفريسة سريعة.
  3. يوجد ملجأ للفريسة.

العوامل التي يمكن أن تؤدي إلى التعايش بين المفترس والفريسة: بعضها يجب أن يؤدي إلى التذبذبات)


قائمة المصطلحات

تتطلب بعض المواقف أكثر من معادلة تفاضلية لنمذجة حالة معينة. قد نستخدم نظام المعادلات التفاضلية لنمذجة نوعين متفاعلين ، على سبيل المثال ، حيث يفترس أحد الأنواع الآخر. على سبيل المثال ، يمكننا نمذجة كيفية تفاعل سكان الوشق الكندي (الوشق الكنديون) مع مجموعة أرنب الأحذية الثلجية (lepus americanis) (انظر https://www.youtube.com/watch؟v=ZWucOrSOdCs).

هناك بيانات تاريخية جيدة معروفة لسكان الوشق والأرنب الحذاء الثلجي من شركة Hudson Bay. تأسست شركة التجزئة الكندية الكبيرة هذه ، التي تمتلك وتدير عددًا كبيرًا من متاجر البيع بالتجزئة في أمريكا الشمالية وأوروبا ، بما في ذلك Galeria Kaufhof و Hudson's Bay و Home Outfitters و Lord & Taylor و Saks Fifth Avenue ، في الأصل عام 1670 كتجارة للفراء شركة. احتفظت شركة Hudson Bay بسجلات دقيقة عن عدد جلود الوشق التي تم شراؤها من الصيادين من عام 1821 إلى عام 1940. ولاحظت الشركة أن عدد جلود الوشق يختلف من سنة إلى أخرى وأن عدد جلود الوشق بلغ ذروته كل عشر سنوات تقريبًا . يمكن فهم دورة العشر سنوات للوشق بشكل أفضل باستخدام نظام المعادلات التفاضلية.

الفريسة الأساسية للوشق الكندي هي أرنب حذاء الثلوج. سوف نشير إلى عدد سكان الأرانب ح (ر) وسكان الوشق بها L (ر)، أين ر هو الوقت الذي يقاس بالسنوات. سنضع الافتراضات التالية لنموذجنا المفترس والفريسة.

    في حالة عدم وجود الوشق ، سنفترض أن الأرانب البرية تتكاثر بمعدل يتناسب مع عدد سكانها ولا تتأثر بالاكتظاظ. وهذا يعني أن عدد الأرانب سوف ينمو بشكل كبير ،

نظام المعادلات Lotka - Volterra هو مثال على نموذج Kolmogorov ، وهو إطار أكثر عمومية يمكنه نمذجة ديناميكيات النظم البيئية مع التفاعلات بين المفترس والفريسة ، والمنافسة ، والمرض ، والتكافل. تحمل المعادلات التي تمثل النضال من أجل وجود نوعين (الفريسة والحيوانات المفترسة) اسم عالمين: لوتكا (1880-1949) وفولتيرا (1860-1940). لقد عاشوا في بلدان مختلفة ، وكان لديهم مسارات مهنية وحياتية متميزة ، لكنهم مرتبطون ببعضهم البعض من خلال اهتماماتهم ونتائجهم في النمذجة الرياضية.

تم اقتراح نموذج المفترس والفريسة في البداية من قبل ألفريد ج. لوتكا في نظرية التفاعلات الكيميائية التحفيزية الذاتية في عام 1910. ولد لوتكا في ليمبيرج بالنمسا والمجر ، لكن والديه هاجرا إلى الولايات المتحدة. في عام 1925 ، استخدم المعادلات لتحليل التفاعلات بين المفترس والفريسة. نشر لوتكا ما يقرب من مائة مقال حول مواضيع مختلفة في الكيمياء والفيزياء وعلم الأوبئة أو علم الأحياء ، نصفها تقريبًا مخصص للقضايا السكانية. كما كتب ستة كتب.

تم نشر نفس المجموعة من المعادلات في عام 1926 من قبل فيتو فولتيرا ، عالم الرياضيات والفيزيائي ، الذي أصبح مهتمًا بالبيولوجيا الرياضية بسبب تأثير عالم الأحياء البحرية أومبرتو دي أنكونا (1896-1964). وُلد فيتو فولتيرا في أنكونا ، التي كانت آنذاك جزءًا من الولايات البابوية ، لعائلة يهودية فقيرة جدًا. التحق بجامعة بيزا ، حيث أصبح أستاذاً للميكانيكا العقلانية عام 1883. وكان أشهر أعماله حول المعادلات المتكاملة. في عام 1892 ، أصبح أستاذًا للميكانيكا في جامعة تورين ، ثم في عام 1900 ، أصبح أستاذًا للفيزياء الرياضية في جامعة روما لا سابينزا. تزوجت ابنته لويزا من أمبرتو دي أنكونا.

تم تمديد نظام المعادلات بين المفترس والفريسة لاحقًا من قبل العديد من الباحثين ، بما في ذلك نموذج C. S.

النقاط الحرجة لنظام معادلات Lotka - Volterra هي حلول المعادلات الجبرية

قد نحاول إيجاد الحل العام لنظام المعادلات Lotka - Volterra. من كلا المعادلتين ، نحصل على

لاحظ أن السكان المفترسين ، إل، يبدأ في النمو ويصل إلى ذروته بعد أعداد الفرائس ، ح تصل إلى ذروتها. مع انخفاض عدد الفريسة ، ينخفض ​​أيضًا عدد الحيوانات المفترسة. بمجرد أن يصبح عدد الحيوانات المفترسة أصغر ، يكون لدى مجموعة الفريسة فرصة لاستعادة أن الدورة تبدأ مرة أخرى.

يمكننا وضع قطعتي أرض جنبًا إلى جنب:

  1. ( displaystyle 0 & lt a_1 delta_1 & lt K left (m_1 - delta_1 right) ) و
  2. ( displaystyle a_2 delta_2 & gt K left (m_2 - delta_2 right)) أو (b_2 le 1. )

يُظهر التحليل الرياضي لنظام Beddington - DeAngelis وجود توازنين (0،0) و ( left ( frac) ، فارك right) = (4،1) ، ) مستقرًا عالميًا في الجزء الداخلي من الربع الأول. القيم الذاتية للمصفوفة اليعقوبية في الأصل هي ( lambda_1 = 1 quad mbox quad lambda_2 = 5، ) والقيم الذاتية ليعقوبي عند النقطة (4،1) يتم تقديمها بواسطة (- frac <1> <12> pm < bf j> ، frac < الجذر التربيعي <119>> <12>. )

  1. باراباس ، جيورجي ، داندريا ، رافائيل وستامب ، سيمون ماكراكين ، نظرية التعايش شيسون ، دراسات بيئية، 2018 ، https://doi.org/10.1002/ecm.1302
  2. باتيها ، ك ، الحلول العددية للنموذج المفترس والفريسة متعدد الأنواع بواسطة طريقة التكرار المتغيرة ، مجلة علوم الكمبيوتر، 2007 ، المجلد. 3 (7): 523-527 ، 2007
  3. Bayliss, A., Nepomnyashchy, A.A., Volpert, V.A., Mathematical modeling of cyclic population dynamics, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2019, Volume 394, doi: 10.1016/j.physd.2019.01.010
  4. Dellal, M., Lakrib, M., Sari, T., The operating diagram of a model of two competitors in a chemostat with an external inhibitor, Mathematical Biosciences, 302, No 8, 2018, 27--45.
  5. Dimitrov, D.T. and Kojouharov, H.V., Complete mathematical analysis of predator–prey models with linear prey growth and Beddington–DeAngelis functional response, Applied Mathematics and Computation, 162, (2), 523--538, 2005.
  6. Goel, N.S., Maitra, S.C., and Montroll, E., On the Volterra and other nonlinear models of interacting populations, Reviews of Modern Physics, 1971, Vol. 43, pp. 231-- https://doi.org/10.1103/RevModPhys.43.231
  7. Hsu, S.B., Hubbell, S.P., and Paul Waltman, Competing predators, مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية, 35, No 4, 1978, 617--625.
  8. Hsu, S.B., Hubbell, S.P., and Paul Waltman, A mathematical theory for single-nutrient competition in continuous cultures of micro-organisms, مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية, Vol 32, No 2, 1977, 366--383.
  9. Hsu, S.B., Hubbell, S.P., and Paul Waltman, A contribution to the theory of competing predators, دراسات بيئية, Vol 48, No 3, 1978, 337--349.
  10. May, R.M., Leonard, W.J., Nonlinear Aspects of Competition Between Three Species, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 29, Issue 2, pp. https://doi.org/10.1137/0129022
  11. Molla, H., Rahman, M.S., Sarwardi, S., Dynamics of a Predator–Prey Model with Holling Type II Functional Response Incorporating a Prey Refuge Depending on Both the Species, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2018, Vol. 20, No. 1, https://doi.org/10.1515/ijnsns-2017-0224
  12. Olek. S. An accurate solution to the multispecies Lotka-Volterra equations, SIAM Review (Society for Industrial and Applied Mathematics), 1994, Vol. 36(3) (1994), 480–488 https://doi.org/10.1137/1036104
  13. Ruan, J., Tan, Y., Zhang, C., A Modified Algorithm for Approximate Solutions of Lotka-Volterra systems, Procedia Engineering, 2011, Volume 15, 2011, Pages 1493-1497 https://doi.org/10.1016/j.proeng.2011.08.277
  14. Scarpello, G.M. and Ritelli, D., A new method for the explicit integration of Lotka--Volterra equations, 2003, Divulgaciones Matematicas، المجلد. 11, No. 1, pp. 1--17.
  15. Seo, Gunog and Wolkowicz, Gail S. K., Sensitivity of the dynamics of the general Rosenzweig--MacArthur model to the mathematical form of the functional response: a bifurcation theory approach. Journal of Mathematical Biology, 76, No 7, 2018, 1873--1906.

Return to Mathematica page
Return to the main page (APMA0340)
Return to the Part 1 Matrix Algebra
Return to the Part 2 Linear Systems of Ordinary Differential Equations
Return to the Part 3 Non-linear Systems of Ordinary Differential Equations
Return to the Part 4 Numerical Methods
Return to the Part 5 Fourier Series
Return to the Part 6 Partial Differential Equations
Return to the Part 7 Special Functions


Fitting the Model to the Data

Let’s pretend we don’t know neither the kinetic parameters nor the initial concentrations of the reagents. Can we infer them from the data? Note, if we use the entire out matrix, then it is trivial to find out the initial concentrations. However, such luxury is not always available. For the inverse problem solving we’ll take advantage of the FME package.

Let’s define the objective function to be minimized. The core of it is the initial value problem solver ode . The output can be presented in the form of error residuals (actual - simulated data). Occasionally the solver will be failing. In this case we return NaN as the error residuals. As an alternative that is worth considering is return of error residuals calculated based on incomplete data (commented in the code). Typically such incomplete ODE solutions have very huge errors. Thus there is no chance that the optimization will converge on those values.

Let’s pretend we don’t know the parameters and try to infer them from the data. To make it easier on optimization we will supply correct values yini for the initial concentrations. Note, we will constrain all parameters with zeros as low values as negative concentrations and kinetic constants do not make sense.

Checking how different the model looks like with the guessed initial values. Since the guess on kinetic constants was not guided in any way, the model behaviour is strikingly different from the original. In real world scenario, the initial parameter values should be either based on prior knowledge or set in such a way that the model recapitulates at least some of the key features of the original data.

Launching the fitting of the paramters to the data of the original model.

Despite, the fact that some of the parameter values are claimed as statistically significant, the optimization failed. The inferred parameters are nowhere near the original values. This is not too surprising as non-linear model fitting is a non-trivial task in general. Especially this is the case for tricky models such as Lotka-Volterra that has many local minima.

Although inferred parameter values are not exactly the same that we put into the simulation, let’s check if these parameters reproproduce the data. The data itself, also, not even close as shown below.


Lotka-Volterra variation

  • $x$ represents the number of prey
  • $y$ represents the number of predators.
  • $a$ is the growth rate of the prey.
  • $b$ is the death rate of the predators independent of the prey.
  • $d$ is the is the rate of consumption of the prey per predator.
  • $a / c$ is the carrying capacity of the prey independent of the predators.
  • $e$ is the growth rate of the predator per prey consumed,
  • $h$ is prey harvesting.

APPROXIMATE ANALYTIC SOLUTION TO THE LOTKA-VOLTERRA PREDATOR – PREY DIFFERENTIAL EQUATIONS MODEL

The paper provides an approximate analytic solution to the Lotka Volterra predator-prey differential equations by symbolic regression. The approximate analytic solution can be made as close as desired to the actual analytic solution involving complicated Lambert W functions. As a side result, the symbolic regression approach also provides an approximation to the otherwise less tractable Lambert W integral equation.

مراجع

Abate, H. and F. Hofelich(1968), Mode-Specic Coupling in Lasers, Z. Physik 209

Boyce, W. and R. DiPrima (1992), Elementary Dierential Equations and Boundary Value
Problems, 5th ed. (Wiley, New York, 1992)

Brearly, J. and , SoudackA. C. (1978) Linearization of the Lotka-Volterra Model. كثافة العمليات ج.
Control Vol. 27, page 933.

Brearly, J., Soudack A. C. (1978). Approximate solutions to the Lotka-Volterra competition
equations. International Journal of Control 27(6):933-941

Evan, C. M., Findley, G. L. (1998). Analytic solutions to the Lotka-Volterra model for
sustained chemical oscillations. Journal of Mathematical Chemistry. المجلد. 25, Pages 1 32.

Evans, C. M. Findley, G. L. (1999). A new transformation for the Lotka-Volterra problem".
Journal of Mathematical Chemistry.Vol. 25: 105110.

Lotka, A. J. 1925. Elements of physical biology. Baltimore: Williams & Wilkins Co.

Nguyen Quang Uy et al. (2010). Semantically-based crossover in genetic programming:
application to real-valued symbolic regression" Genetic Programming and Evolvable

Machines. June 2011, Volume 12, Issue 2, pp 91119

Noonburg V. W. (1989). A Neural Network Modeled by an Adaptive Lotka-Volterra System.
SIAM Journal on Applied Mathematics 49(6).

Padua, R., Libao, M., Azura, R., Cortez, M., Abato, T., Frias, M..(2018) Approximate
Analytic Solutions to Dierential Equations from Numerical Methods" (Recoletos
Multidisciplinary Journal, Vol. 5, No. 1).

Sean Luke , Lee Spector L. (1998). A Revised Comparison of Crossover and Mutation
in Genetic Programming. Genetic Programming 1997: Proceedings of the Second Annual
Conference 1998, 240-248.

Takeuchi et al. (2006). Evolution of predatorprey systems described by a LotkaVolterra
equation under random environment. Volume 323, Issue 2, Pages 938-957.

Volterra V. (1926). Fluctuations in the Abundance of a Species considered Mathematically.
Nature volume 118, pages 558560.


شاهد الفيديو: Modelling Interspecific Competition (قد 2022).


تعليقات:

  1. Lean

    هل تعرف لماذا؟

  2. Ferghus

    برافو ، لم تكن مخطئا :)

  3. Shataxe

    أعتقد أنك مخطئ. دعنا نناقش.

  4. Laszlo

    أهنئ ، ما هي الكلمات اللازمة ... ، الفكرة الممتازة

  5. Marsden

    أود التحدث معك حول هذه القضية.



اكتب رسالة